与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、適切な項の組み合わせを考えます。$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ を展開すると、$x^2-8x$の項が現れるので、この組み合わせで計算を進めます。

\begin{align*}

(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 &= (x-1)(x-7)(x-3)(x-5)+15 \\

&= (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15

\end{align*}

ここで、$y = x^2 - 8x$ と置換します。

\begin{align*}

(y + 7)(y + 15) + 15 &= y^2 + 22y + 105 + 15 \\

&= y^2 + 22y + 120

\end{align*}

次に、$y^2 + 22y + 120$ を因数分解します。

\begin{align*}

y^2 + 22y + 120 &= (y + 10)(y + 12)

\end{align*}

$y = x^2 - 8x$ を代入して、

\begin{align*}

(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)

\end{align*}

さらに、$x^2 - 8x + 12$ を因数分解します。

\begin{align*}

x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)

\end{align*}

よって、

\begin{align*}

(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$