$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:4$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $5:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ として、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す問題です。$AP:PD=s:(1-s)$、 $BP:PC=t:(1-t)$ ($0<s<1$、$0<t<1$) とおくと、$\overrightarrow{OP}$ は $(1-s)\vec{a} + \frac{1}{2}s\vec{b} = \frac{3}{4}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$と表せる。このとき、$s$、$t$ の値を求め、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:4$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $5:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ として、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す問題です。$AP:PD=s:(1-s)$、 $BP:PC=t:(1-t)$ ($0<s<1$、$0<t<1$) とおくと、$\overrightarrow{OP}$ は $(1-s)\vec{a} + \frac{1}{2}s\vec{b} = \frac{3}{4}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$と表せる。このとき、$s$、$t$ の値を求め、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{5}\vec{a}$ より、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{5}\vec{a} - \vec{b}$。

$\overrightarrow{OD} = \frac{5}{6}\vec{b}$ より、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \frac{5}{6}\vec{b} - \vec{a}$。

$AP:PD = s: (1-s)$ より、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{5}{6}\vec{b}$

$BP:PC = t: (1-t)$ より、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} = (1-t)\vec{b} + t\frac{1}{5}\vec{a}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{t}{5}$ かつ $\frac{5}{6}s = 1-t$

$5 - 5s = t$ かつ $\frac{5}{6}s = 1 - (5 - 5s) = 5s - 4$

$\frac{5}{6}s - 5s = -4$

$5s - 30s = -24$

$-25s = -24$

$s = \frac{24}{25}$

$t = 5 - 5(\frac{24}{25}) = 5 - \frac{24}{5} = \frac{25 - 24}{5} = \frac{1}{5}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{5}{6}s\vec{b} = (1 - \frac{24}{25})\vec{a} + \frac{5}{6} \cdot \frac{24}{25} \vec{b} = \frac{1}{25}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{25}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

したがって、

$s = \frac{24}{25}$

$t = \frac{1}{5}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{25}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

画像内の解答を埋めると以下のようになる。

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{5}$

$s = \frac{24}{25}$, $t = \frac{1}{5}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{25}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

$\frac{1}{5}, \frac{4}{5}$

$\frac{5}{6}$-> $\frac{4}{5}$

$\frac{3}{4}$->$\frac{1}{5}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{25} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b}$

画像中の空欄を埋めると、

1 : 5

2 : 6

3 : 1

4 : 5

5 : 24

6 : 25

7 : 24

8 : 25

9 : 1

10 : 5

11 : 1

12 : 25

13 : 25

14 : 4

15 : 5

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{25} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b}$