ベクトル $\vec{a} = (-3, -3, 4)$ と $\vec{b} = (3, 5, -8)$ の両方に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-3, -3, 4)$ と $\vec{b} = (3, 5, -8)$ の両方に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。外積は、2つのベクトルに垂直なベクトルを与えます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

-3 & -3 & 4 \\

3 & 5 & -8

\end{vmatrix} = ((-3) \times (-8) - 4 \times 5)\vec{i} - ((-3) \times (-8) - 4 \times 3)\vec{j} + ((-3) \times 5 - (-3) \times 3)\vec{k}$

$\vec{a} \times \vec{b} = (24 - 20)\vec{i} - (24 - 12)\vec{j} + (-15 + 9)\vec{k} = 4\vec{i} - 12\vec{j} - 6\vec{k} = (4, -12, -6)$

次に、得られたベクトル $\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさを計算します。

$||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{4^2 + (-12)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 144 + 36} = \sqrt{196} = 14$

最後に、$\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割って、単位ベクトル $\vec{e}$ を求めます。

ただし、垂直な方向は2つあるため、正負両方の単位ベクトルが解となります。

$\vec{e} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \pm \frac{(4, -12, -6)}{14} = \pm \left( \frac{4}{14}, \frac{-12}{14}, \frac{-6}{14} \right) = \pm \left( \frac{2}{7}, \frac{-6}{7}, \frac{-3}{7} \right)$

3. 最終的な答え

$\vec{e} = \left( \frac{2}{7}, -\frac{6}{7}, -\frac{3}{7} \right)$ または $\vec{e} = \left( -\frac{2}{7}, \frac{6}{7}, \frac{3}{7} \right)$