2点A(3,1,0), B(1,0,4)を通る直線lに、点C(2,0,1)から垂線CHを下ろすとき、点Hの座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(3,1,0), B(1,0,4)を通る直線lに、点C(2,0,1)から垂線CHを下ろすとき、点Hの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線ABの方向ベクトル $\vec{d}$ を求める。

$\vec{d} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1,0,4) - (3,1,0) = (-2, -1, 4)$

直線AB上の点Hは、パラメータtを用いて以下のように表せる。

$\vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{d} = (3,1,0) + t(-2, -1, 4) = (3-2t, 1-t, 4t)$

次に、ベクトル $\vec{CH}$ を求める。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = (3-2t, 1-t, 4t) - (2,0,1) = (1-2t, 1-t, 4t-1)$

$\vec{CH}$ は直線ABと垂直なので、$\vec{CH} \cdot \vec{d} = 0$ である。

$(1-2t, 1-t, 4t-1) \cdot (-2, -1, 4) = 0$

$-2(1-2t) - (1-t) + 4(4t-1) = 0$

$-2 + 4t - 1 + t + 16t - 4 = 0$

$21t - 7 = 0$

$21t = 7$

$t = \frac{1}{3}$

求めたtの値を $\vec{OH}$ に代入する。

$\vec{OH} = (3 - 2(\frac{1}{3}), 1 - \frac{1}{3}, 4(\frac{1}{3})) = (3 - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3})$

したがって、点Hの座標は$(\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3})$である。

3. 最終的な答え

H$(\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3})$