1枚の硬貨を投げて、表が出たら2点、裏が出たら1点を得るゲームについて、以下の問いに答える問題です。 (1) 10回投げて得た点数の合計のとりうる値は何通りあるか。 (2) 得た点数の合計が9点となるとき、投げた回数の最小値はいくつか。 (3) 7回投げて得た点数の合計が10点のとき、表が出た回数はいくつか。また、このときの硬貨の表裏の出方は何通りあるか。 (4) 2回投げて得た点数の合計の期待値はいくつか。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を投げて、表が出たら2点、裏が出たら1点を得るゲームについて、以下の問いに答える問題です。

(1) 10回投げて得た点数の合計のとりうる値は何通りあるか。

(2) 得た点数の合計が9点となるとき、投げた回数の最小値はいくつか。

(3) 7回投げて得た点数の合計が10点のとき、表が出た回数はいくつか。また、このときの硬貨の表裏の出方は何通りあるか。

(4) 2回投げて得た点数の合計の期待値はいくつか。

2. 解き方の手順

(1) 10回投げたとき、すべて裏が出た場合は10点、すべて表が出た場合は20点となる。

したがって、とりうる値は10点から20点までのすべての整数である。

その個数は $20 - 10 + 1 = 11$ 通り。

(2) 得点合計が9点となるように投げた回数を最小にするには、できるだけ2点（表）を多く出す必要がある。

$9 = 2 \times 4 + 1 \times 1$なので、表が4回、裏が1回で9点となる。

したがって、投げた回数の最小値は $4 + 1 = 5$ 回。

(3) 7回投げて得点の合計が10点ということは、表が出た回数を$x$、裏が出た回数を$y$とすると、

$2x + y = 10$

$x + y = 7$

この連立方程式を解くと、

$x = 3$

$y = 4$

したがって、表が出た回数は3回。

このとき、硬貨の表裏の出方は、7回のうち3回が表なので、

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

(4) 2回投げて得られる点数の合計の期待値を求める。

表が2回出る確率：$\frac{1}{4}$、このときの合計点は4点

表が1回、裏が1回出る確率：$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、このときの合計点は3点

裏が2回出る確率：$\frac{1}{4}$、このときの合計点は2点

期待値は $4 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 2 = 3$ 点。

3. 最終的な答え

(1) 11通り

(2) 5回

(3) 表が出た回数は3回、表裏の出方は35通り

(4) 3点