AとBが試合をし、先に3勝した方が優勝する。1回の試合でAが勝つ確率が $\frac{1}{3}$ であるとき、以下の確率を求める問題です。 (1) Aが3試合目で優勝する確率 (2) Aが4試合目で優勝する確率 (3) Aが優勝する確率

1. 問題の内容

AとBが試合をし、先に3勝した方が優勝する。1回の試合でAが勝つ確率が $\frac{1}{3}$ であるとき、以下の確率を求める問題です。

(1) Aが3試合目で優勝する確率

(2) Aが4試合目で優勝する確率

(3) Aが優勝する確率

2. 解き方の手順

(1) Aが3試合目で優勝するのは、Aが3連勝する場合なので、確率は $(\frac{1}{3})^3$ で求められます。

(2) Aが4試合目で優勝するのは、4試合目にAが勝ち、かつ最初の3試合でAが2勝1敗となる場合です。

最初の3試合でAが2勝1敗となる確率は、${}_3C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1$ です。

したがって、Aが4試合目で優勝する確率は、${}_3C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 \times \frac{1}{3}$ で求められます。

(3) Aが優勝する確率は、Aが3試合目、4試合目、5試合目で優勝する確率を足し合わせることで求められます。

Aが3試合目で優勝する確率は(1)で求めました。

Aが4試合目で優勝する確率は(2)で求めました。

Aが5試合目で優勝するのは、5試合目にAが勝ち、かつ最初の4試合でAが2勝2敗となる場合です。

最初の4試合でAが2勝2敗となる確率は、${}_4C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2$ です。

したがって、Aが5試合目で優勝する確率は、${}_4C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3}$ で求められます。

これらの確率を合計します。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $\frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

(3) $\frac{1}{27} + \frac{6}{81} + \frac{24}{243} = \frac{9 + 18 + 24}{243} = \frac{51}{243} = \frac{17}{81}$