AとBが試合を行い、先に3勝した方が優勝する。Aが1回の試合で勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。引き分けはないものとして、以下の確率を求める。 (1) Aが3試合目で優勝する確率 (2) Aが4試合目で優勝する確率 (3) Aが優勝する確率

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に3勝した方が優勝する。Aが1回の試合で勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。引き分けはないものとして、以下の確率を求める。

(1) Aが3試合目で優勝する確率

(2) Aが4試合目で優勝する確率

(3) Aが優勝する確率

2. 解き方の手順

(1) Aが3試合目で優勝するためには、Aが3連勝する必要がある。したがって、確率は

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

(2) Aが4試合目で優勝するためには、4試合目にAが勝ち、それまでの3試合でAが2勝、Bが1勝する必要がある。3試合でAが2勝、Bが1勝する組み合わせは $_3C_2 = 3$ 通り。したがって、確率は

$_3C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

(3) Aが優勝するためには、3試合、4試合、5試合で優勝する場合がある。

3試合で優勝する確率は(1)より$\frac{1}{27}$

4試合で優勝する確率は(2)より$\frac{2}{27}$

5試合で優勝するためには、5試合目にAが勝ち、それまでの4試合でAが2勝、Bが2勝する必要がある。4試合でAが2勝、Bが2勝する組み合わせは $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。したがって、確率は

$_4C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3}) = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}$

よって、Aが優勝する確率は

$\frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} = \frac{3}{81} + \frac{6}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $\frac{2}{27}$

(3) $\frac{17}{81}$