AとBが試合を行い、先に3勝した方が優勝する。Aが1回の試合で勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。以下の確率を求めよ。 (1) Aが3試合目で優勝する確率 (2) Aが4試合目で優勝する確率 (3) Aが優勝する確率

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に3勝した方が優勝する。Aが1回の試合で勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。以下の確率を求めよ。

(1) Aが3試合目で優勝する確率

(2) Aが4試合目で優勝する確率

(3) Aが優勝する確率

2. 解き方の手順

(1) Aが3試合目で優勝するのは、Aが3連勝する場合である。

それぞれの試合でAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$なので、

求める確率は $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

(2) Aが4試合目で優勝するのは、4試合目にAが勝ち、最初の3試合でAが2勝1敗する場合である。

最初の3試合でAが2勝1敗となる確率は、$_3C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27}$

4試合目にAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$なので、

求める確率は $\frac{6}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

(3) Aが優勝する確率は、3試合目、4試合目、5試合目で優勝する場合の確率を足し合わせることで求められる。

3試合目で優勝する確率は(1)より$\frac{1}{27}$

4試合目で優勝する確率は(2)より$\frac{2}{27}$

5試合目で優勝するのは、5試合目にAが勝ち、最初の4試合でAが2勝2敗となる場合である。

最初の4試合でAが2勝2敗となる確率は、$_4C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81}$

5試合目にAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$なので、

5試合目でAが優勝する確率は $\frac{24}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}$

よって、Aが優勝する確率は $\frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} = \frac{3}{81} + \frac{6}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $\frac{2}{27}$

(3) $\frac{17}{81}$