ある試験の点数$X$が正規分布$N(68, 15^2)$に従うとき、成績上位から約25%, 35%, 20%, 20%をそれぞれA, B, C, Fの成績とします。 (1) Fは何点以下であるか、小数点以下を切り捨てて答えます。 (2) Bは何点以上（切り上げ）何点以下（切り捨て）であるかを答えます。

1. 問題の内容

ある試験の点数$X$が正規分布$N(68, 15^2)$に従うとき、成績上位から約25%, 35%, 20%, 20%をそれぞれA, B, C, Fの成績とします。

(1) Fは何点以下であるか、小数点以下を切り捨てて答えます。

(2) Bは何点以上（切り上げ）何点以下（切り捨て）であるかを答えます。

2. 解き方の手順

(1)

Fは成績下位20%に対応します。

まず、$P(X \le x) = 0.20$となる$x$を求めます。

標準化変数$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$を用いると、

$P(\frac{X - 68}{15} \le \frac{x - 68}{15}) = 0.20$となります。

$P(Z \le \frac{x - 68}{15}) = 0.20$を満たす$\frac{x - 68}{15}$の値を標準正規分布表から探します。

標準正規分布表によると、$P(Z \le -0.84) \approx 0.20$です。

したがって、$\frac{x - 68}{15} = -0.84$となるので、

$x = 68 + 15 \times (-0.84) = 68 - 12.6 = 55.4$

小数点以下を切り捨てると、55点となります。

(2)

Bは成績上位25%〜60%(25%+35%)に対応します。

Bの上限を求めます。$P(X \le x) = 0.60$となる$x$を求めます。

$P(\frac{X - 68}{15} \le \frac{x - 68}{15}) = 0.60$

$P(Z \le \frac{x - 68}{15}) = 0.60$を満たす$\frac{x - 68}{15}$の値を標準正規分布表から探します。

標準正規分布表によると、$P(Z \le 0.25) \approx 0.60$です。

したがって、$\frac{x - 68}{15} = 0.25$となるので、

$x = 68 + 15 \times 0.25 = 68 + 3.75 = 71.75$

小数点以下を切り捨てると、71点となります。

Bの下限を求めます。成績上位25%の点数を求めます。

$P(X \ge x) = 0.25$となる$x$を求めます。これは$P(X \le x) = 0.75$と同じです。

$P(\frac{X - 68}{15} \le \frac{x - 68}{15}) = 0.75$

$P(Z \le \frac{x - 68}{15}) = 0.75$を満たす$\frac{x - 68}{15}$の値を標準正規分布表から探します。

標準正規分布表によると、$P(Z \le 0.67) \approx 0.75$です。

したがって、$\frac{x - 68}{15} = 0.67$となるので、

$x = 68 + 15 \times 0.67 = 68 + 10.05 = 78.05$

小数点以下を切り上げると、79点となります。

3. 最終的な答え

(1) 55点

(2) 79点以上71点以下