男子学生の所持金 $X$ は正規分布 $N(4000, 1200^2)$ に従い、女子学生の所持金 $Y$ は正規分布 $N(6000, 900^2)$ に従う。$X$ と $Y$ は互いに独立である。以下の確率を求める問題。 (1) 彼が彼女に5000円のプレゼントを買うことができる確率 $P(X \geq 5000)$。 (2) 彼女が彼に5000円のプレゼントを買うことができる確率 $P(Y \geq 5000)$。 (3) 2人合わせて8000円のディナーを食べることができる確率 $P(X+Y \geq 8000)$。

1. 問題の内容

男子学生の所持金 $X$ は正規分布 $N(4000, 1200^2)$ に従い、女子学生の所持金 $Y$ は正規分布 $N(6000, 900^2)$ に従う。$X$ と $Y$ は互いに独立である。以下の確率を求める問題。

(1) 彼が彼女に5000円のプレゼントを買うことができる確率 $P(X \geq 5000)$。

(2) 彼女が彼に5000円のプレゼントを買うことができる確率 $P(Y \geq 5000)$。

(3) 2人合わせて8000円のディナーを食べることができる確率 $P(X+Y \geq 8000)$。

2. 解き方の手順

(1) $P(X \geq 5000)$ を求める。$X$ を標準化する。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 4000}{1200}$

$P(X \geq 5000) = P(\frac{X - 4000}{1200} \geq \frac{5000 - 4000}{1200}) = P(Z \geq \frac{1000}{1200}) = P(Z \geq \frac{5}{6}) = P(Z \geq 0.8333)$

標準正規分布表から、$P(Z \leq 0.83) = 0.7967$ なので、$P(Z \geq 0.83) = 1 - 0.7967 = 0.2033$

$P(X \geq 5000) \approx 0.2033$

(2) $P(Y \geq 5000)$ を求める。$Y$ を標準化する。

$Z = \frac{Y - \mu}{\sigma} = \frac{Y - 6000}{900}$

$P(Y \geq 5000) = P(\frac{Y - 6000}{900} \geq \frac{5000 - 6000}{900}) = P(Z \geq \frac{-1000}{900}) = P(Z \geq -\frac{10}{9}) = P(Z \geq -1.1111)$

$P(Z \geq -1.11) = P(Z \leq 1.11)$

標準正規分布表から、$P(Z \leq 1.11) = 0.8665$

$P(Y \geq 5000) \approx 0.8665$

(3) $P(X+Y \geq 8000)$ を求める。

$X+Y$ の分布を考える。$X \sim N(4000, 1200^2)$, $Y \sim N(6000, 900^2)$ より、

$X+Y \sim N(4000+6000, 1200^2 + 900^2) = N(10000, 1440000 + 810000) = N(10000, 2250000) = N(10000, 1500^2)$

$Z = \frac{X+Y - 10000}{1500}$

$P(X+Y \geq 8000) = P(\frac{X+Y - 10000}{1500} \geq \frac{8000 - 10000}{1500}) = P(Z \geq \frac{-2000}{1500}) = P(Z \geq -\frac{4}{3}) = P(Z \geq -1.3333)$

$P(Z \geq -1.33) = P(Z \leq 1.33)$

標準正規分布表から、$P(Z \leq 1.33) = 0.9082$

$P(X+Y \geq 8000) \approx 0.9082$

3. 最終的な答え

(1) 彼が彼女に5000円のプレゼントを買うことができる確率: 約0.2033

(2) 彼女が彼に5000円のプレゼントを買うことができる確率: 約0.8665

(3) 2人合わせて8000円のディナーを食べることができる確率: 約0.9082