ある菓子店で、菓子1個あたりの重さは正規分布 $N(90, 9)$ に従い、箱のみの重さは正規分布 $N(30, 1)$ に従う。菓子8個を箱詰めした状態の1箱あたりの重さの分布を求めよ。

1. 問題の内容

ある菓子店で、菓子1個あたりの重さは正規分布 $N(90, 9)$ に従い、箱のみの重さは正規分布 $N(30, 1)$ に従う。菓子8個を箱詰めした状態の1箱あたりの重さの分布を求めよ。

2. 解き方の手順

* 菓子1個の重さの分布は $N(90, 9)$ である。

* 菓子8個の重さの合計は、それぞれの菓子の重さの和である。正規分布に従う独立な確率変数の和は、やはり正規分布に従う。

* 菓子8個の重さの合計の期待値は、各菓子の重さの期待値の和である。

$8 \times 90 = 720$

* 菓子8個の重さの合計の分散は、各菓子の重さの分散の和である。

$8 \times 9 = 72$

* したがって、菓子8個の重さの合計の分布は $N(720, 72)$ である。

* 箱の重さの分布は $N(30, 1)$ である。

* 箱詰めされた菓子8個の重さの合計は、菓子8個の重さの合計と箱の重さの和である。

* 箱詰めされた菓子8個の重さの合計の期待値は、菓子8個の重さの合計の期待値と箱の重さの期待値の和である。

$720 + 30 = 750$

* 箱詰めされた菓子8個の重さの合計の分散は、菓子8個の重さの合計の分散と箱の重さの分散の和である。

$72 + 1 = 73$

* したがって、箱詰めされた菓子8個の重さの合計の分布は $N(750, 73)$ である。

3. 最終的な答え

箱詰めされた菓子8個の1箱あたりの重さの分布は $N(750, 73)$ である。