AとBが試合を行い、先に3勝した方が優勝する。Aが1回の試合で勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。引き分けはないものとする。 (1) Aが3試合目で優勝する確率を求める。 (2) Aが4試合目で優勝する確率を求める。 (3) Aが優勝する確率を求める。

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に3勝した方が優勝する。Aが1回の試合で勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。引き分けはないものとする。

(1) Aが3試合目で優勝する確率を求める。

(2) Aが4試合目で優勝する確率を求める。

(3) Aが優勝する確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aが3試合目で優勝する確率は、Aが3連勝する場合なので、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

(2) Aが4試合目で優勝する確率は、4試合目でAが勝ち、それまでの3試合でAが2勝1敗となる場合である。3試合でAが2勝1敗となるのは、${}_3C_2$通りある。

それぞれの確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$

よって、Aが4試合目で優勝する確率は、

${}_3C_2 \times \frac{2}{27} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

(3) Aが優勝する確率は、3試合目、4試合目、5試合目で優勝する場合の確率を足し合わせることで求められる。

3試合目で優勝する確率は、(1)で求めた$\frac{1}{27}$。

4試合目で優勝する確率は、(2)で求めた$\frac{2}{27}$。

5試合目で優勝する確率は、5試合目でAが勝ち、それまでの4試合でAが2勝2敗となる場合である。4試合でAが2勝2敗となるのは、${}_4C_2$通りある。

それぞれの確率は $(\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{81}$

よって、Aが5試合目で優勝する確率は、

${}_4C_2 \times \frac{4}{81} \times \frac{1}{3} = 6 \times \frac{4}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}$

したがって、Aが優勝する確率は、

$\frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} = \frac{3}{81} + \frac{6}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $\frac{2}{27}$

(3) $\frac{17}{81}$