この問題は、確率・統計に関する複数の問題から構成されています。 * 問題1：正規分布に従う確率変数X, Yについて、Xが50以下である確率とX+Yが80以上である確率を求めます。 * 問題2：サイコロを720回振ったとき、1の目が150回以上出る確率を、二項分布の正規近似を使って求めます（半整数補正を使用）。 * 問題3：母集団分布が与えられたとき、パラメータ$\theta$の最尤推定量$\hat{\theta}$を求め、その性質（不偏性、最小分散性）を証明します。 * 問題4：正規分布に従う母集団からの標本に基づいて、パラメータ$\theta$の推定量$\hat{\theta}$を定義し、その性質（最尤性、不偏性）を証明します。

1. 問題の内容

この問題は、確率・統計に関する複数の問題から構成されています。

* 問題1：正規分布に従う確率変数X, Yについて、Xが50以下である確率とX+Yが80以上である確率を求めます。

* 問題2：サイコロを720回振ったとき、1の目が150回以上出る確率を、二項分布の正規近似を使って求めます（半整数補正を使用）。

* 問題3：母集団分布が与えられたとき、パラメータ$\theta$の最尤推定量$\hat{\theta}$を求め、その性質（不偏性、最小分散性）を証明します。

* 問題4：正規分布に従う母集団からの標本に基づいて、パラメータ$\theta$の推定量$\hat{\theta}$を定義し、その性質（最尤性、不偏性）を証明します。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $X \sim N(60, 8^2)$なので、$Z = \frac{X - 60}{8}$は標準正規分布$N(0, 1)$に従います。

$P(X \le 50) = P(Z \le \frac{50 - 60}{8}) = P(Z \le -1.25)$。標準正規分布表または計算ツールを用いて、$P(Z \le -1.25)$の値を求めます。

(2) $X \sim N(60, 8^2)$、$Y \sim N(40, 6^2)$であり、$X$と$Y$は独立なので、$X+Y \sim N(60+40, 8^2+6^2) = N(100, 100) = N(100, 10^2)$となります。

$Z = \frac{X+Y - 100}{10}$は標準正規分布$N(0, 1)$に従います。

$P(X+Y \ge 80) = P(Z \ge \frac{80 - 100}{10}) = P(Z \ge -2)$。標準正規分布表または計算ツールを用いて、$P(Z \ge -2) = 1 - P(Z \le -2)$の値を求めます。

問題2

$n = 720$回の試行で、1の目が出る確率は$p = \frac{1}{6}$です。

1の目が150回以上出る確率を求めます。

期待値$\mu = np = 720 \times \frac{1}{6} = 120$、分散$\sigma^2 = np(1-p) = 720 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 100$、標準偏差$\sigma = 10$です。

二項分布の正規近似を用いると、半整数補正を考慮して、$P(X \ge 150) \approx P(Y \ge 149.5)$、$Y \sim N(120, 10^2)$となります。

$Z = \frac{Y - 120}{10}$は標準正規分布$N(0, 1)$に従います。

$P(Y \ge 149.5) = P(Z \ge \frac{149.5 - 120}{10}) = P(Z \ge 2.95)$。標準正規分布表または計算ツールを用いて、$P(Z \ge 2.95) = 1 - P(Z \le 2.95)$の値を求めます。

問題3

(1) 母集団分布$p(x) = \theta^x(1-\theta)^{1-x}$に従う確率変数$X$の期待値と分散を示します。

$E(X) = \sum_{x=0}^{1} x p(x) = 0 \cdot (1-\theta) + 1 \cdot \theta = \theta$

$E(X^2) = \sum_{x=0}^{1} x^2 p(x) = 0^2 \cdot (1-\theta) + 1^2 \cdot \theta = \theta$

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \theta - \theta^2 = \theta(1-\theta)$

(2) 最尤推定量$\hat{\theta}$を求めます。

尤度関数$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} p(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i} = \theta^{\sum x_i}(1-\theta)^{n - \sum x_i}$

対数尤度関数$\log L(\theta) = (\sum_{i=1}^{n} x_i) \log \theta + (n - \sum_{i=1}^{n} x_i) \log(1-\theta)$

$\frac{\partial \log L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{\sum x_i}{\theta} - \frac{n - \sum x_i}{1-\theta} = 0$

$\sum x_i (1-\theta) = (n - \sum x_i) \theta$

$\sum x_i - \theta \sum x_i = n\theta - \theta \sum x_i$

$\sum x_i = n\theta$

$\theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

したがって、$\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$です。

(3) $\hat{\theta}$が$\theta$の不偏推定量であることを示します。

$E[\hat{\theta}] = E[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \theta = \frac{1}{n} (n\theta) = \theta$

したがって、$\hat{\theta}$は$\theta$の不偏推定量です。

(4) $\hat{\theta}$が$\theta$の不偏最小分散推定量であることをクラーメル・ラオの不等式を用いて証明します。

まず、$log p_0(x) = x log\theta + (1-x)log(1-\theta)$

$\frac{\partial log p_0(x)}{\partial \theta} = \frac{x}{\theta} - \frac{1-x}{1-\theta} = \frac{x(1-\theta)-\theta(1-x)}{\theta(1-\theta)} = \frac{x-\theta}{\theta(1-\theta)}$

$E \left[\frac{\partial log p_0(X)}{\partial \theta}\right]^2 = E\left[ \frac{(X-\theta)^2}{\theta^2(1-\theta)^2} \right] = \frac{1}{\theta^2(1-\theta)^2} E[(X-\theta)^2] = \frac{V(X)}{\theta^2(1-\theta)^2} = \frac{\theta(1-\theta)}{\theta^2(1-\theta)^2} = \frac{1}{\theta(1-\theta)}$

クラーメル・ラオの不等式より

$V(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{nE \left[\frac{\partial log p_0(X)}{\partial \theta}\right]^2} = \frac{1}{n \frac{1}{\theta(1-\theta)}} = \frac{\theta(1-\theta)}{n}$

$\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$なので、

$V(\hat{\theta}) = V(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \theta(1-\theta) = \frac{n\theta(1-\theta)}{n^2} = \frac{\theta(1-\theta)}{n}$

したがって、$V(\hat{\theta}) = \frac{\theta(1-\theta)}{n}$であり、クラーメル・ラオの下限を達成しているため、$\hat{\theta}$は$\theta$の不偏最小分散推定量です。

問題4

(1) 最尤推定量$\hat{\theta}$を求めます。

尤度関数$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} p(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\theta}} = (2\pi\theta)^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2}$

対数尤度関数$\log L(\theta) = -\frac{n}{2} \log(2\pi\theta) - \frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2$

$\frac{\partial \log L(\theta)}{\partial \theta} = -\frac{n}{2} \frac{1}{\theta} + \frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2 = 0$

$\frac{n}{2\theta} = \frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2$

$n\theta = \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2$

$\theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2$

したがって、$\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\mu)^2$です。

(2) $\hat{\theta}$が$\theta$の不偏推定量であることを示します。

$E[\hat{\theta}] = E[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\mu)^2] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[(X_i-\mu)^2]$

$X_i \sim N(\mu, \theta)$なので、$V(X_i) = E[(X_i-\mu)^2] = \theta$

$E[\hat{\theta}] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \theta = \frac{1}{n} (n\theta) = \theta$

したがって、$\hat{\theta}$は$\theta$の不偏推定量です。

3. 最終的な答え

問題1

(1) $P(X \le 50) = P(Z \le -1.25) \approx 0.1056$

(2) $P(X+Y \ge 80) = P(Z \ge -2) \approx 0.9772$

問題2

$P(X \ge 150) \approx P(Z \ge 2.95) \approx 0.0016$

問題3

(1) $E(X) = \theta$, $V(X) = \theta(1-\theta)$

(2) $\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$

(3) $\hat{\theta}$は$\theta$の不偏推定量

(4) $\hat{\theta}$は$\theta$の不偏最小分散推定量

問題4

(1) $\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\mu)^2$

(2) $\hat{\theta}$は$\theta$の不偏推定量