あるハンバーガーショップで販売されているフライドポテトの重量は、平均100g、標準偏差4gの正規分布に従うとする。 (1) 無作為に100個のフライドポテトを調べたとき、94g以下となるものは何個あると期待されるか。 (2) 無作為に100個のフライドポテトを調べたところ、平均値は98.8gであった。無作為に100個のフライドポテトを選んで重量を調べたとき、その標本平均が98.8g以下となる確率はいくらか。

1. 問題の内容

あるハンバーガーショップで販売されているフライドポテトの重量は、平均100g、標準偏差4gの正規分布に従うとする。

(1) 無作為に100個のフライドポテトを調べたとき、94g以下となるものは何個あると期待されるか。

(2) 無作為に100個のフライドポテトを調べたところ、平均値は98.8gであった。無作為に100個のフライドポテトを選んで重量を調べたとき、その標本平均が98.8g以下となる確率はいくらか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、フライドポテトの重量が94g以下となる確率を求めます。正規分布を標準化するために、zスコアを計算します。

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

ここで、$x = 94$, $\mu = 100$, $\sigma = 4$ なので、

$z = \frac{94 - 100}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

標準正規分布表または電卓を使って、zスコアが-1.5以下となる確率を求めます。この確率は約0.0668です。

次に、100個のフライドポテトのうち、94g以下となるものの期待値を計算します。

$100 \times 0.0668 = 6.68$

したがって、約6.68個、つまり約7個と期待されます。

(2)

標本平均の分布は正規分布に従い、平均は母平均$\mu$と同じで、標準偏差は$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$となります。

標本平均の標準偏差を計算します。

$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = 0.4$

次に、標本平均が98.8g以下となる確率を求めるために、zスコアを計算します。

$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$

ここで、$\bar{x} = 98.8$, $\mu = 100$, $\sigma_{\bar{x}} = 0.4$ なので、

$z = \frac{98.8 - 100}{0.4} = \frac{-1.2}{0.4} = -3$

標準正規分布表または電卓を使って、zスコアが-3以下となる確率を求めます。この確率は約0.0013です。

3. 最終的な答え

(1) 約7個

(2) 約0.0013