AとBが試合を行い、先に3勝した方が優勝とする。Aが1回の試合で勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。引き分けはないものとする。以下の確率を求める。 (1) Aが3試合目で優勝する確率 (2) Aが4試合目で優勝する確率 (3) Aが優勝する確率

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に3勝した方が優勝とする。Aが1回の試合で勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。引き分けはないものとする。以下の確率を求める。

(1) Aが3試合目で優勝する確率

(2) Aが4試合目で優勝する確率

(3) Aが優勝する確率

2. 解き方の手順

(1) Aが3試合目で優勝するのは、Aが3連勝する場合である。

その確率は、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

(2) Aが4試合目で優勝するのは、4試合目にAが勝ち、それまでの3試合でAが2勝、Bが1勝している場合である。

3試合でAが2勝、Bが1勝する組み合わせは、${}_3C_2 = 3$ 通りある。

Aが2勝しBが1勝する確率は、$(\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{27}$

4試合目にAが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。

したがって、求める確率は

$3 \times \frac{2}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

(3) Aが優勝するのは、3試合目、4試合目、5試合目のいずれかである。

3試合目で優勝する確率は (1) で求めた $\frac{1}{27}$ である。

4試合目で優勝する確率は (2) で求めた $\frac{2}{27}$ である。

5試合目でAが優勝するのは、5試合目にAが勝ち、それまでの4試合でAが2勝、Bが2勝している場合である。

4試合でAが2勝、Bが2勝する組み合わせは、${}_4C_2 = 6$ 通りある。

Aが2勝しBが2勝する確率は、$(\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{81}$

5試合目にAが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。

したがって、5試合目でAが優勝する確率は

$6 \times \frac{4}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}$

求める確率は、これらの和なので

$\frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} = \frac{3}{81} + \frac{6}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $\frac{2}{27}$

(3) $\frac{17}{81}$