与えられた4つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形すると、

- $a>0$ のとき、下に凸なグラフになり、頂点$(p, q)$で最小値 $q$ をとります。最大値はありません。

- $a<0$ のとき、上に凸なグラフになり、頂点$(p, q)$で最大値 $q$ をとります。最小値はありません。

(1) $y = x^2 + 4x + 2$

$y = (x^2 + 4x) + 2$

$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 2$

$y = (x + 2)^2 - 2$

$x = -2$ のとき、最小値 $-2$ をとります。最大値はありません。

(2) $y = -x^2 + 6x - 4$

$y = -(x^2 - 6x) - 4$

$y = -(x^2 - 6x + 9) + 9 - 4$

$y = -(x - 3)^2 + 5$

$x = 3$ のとき、最大値 $5$ をとります。最小値はありません。

(3) $y = 2x^2 + 4x + 3$

$y = 2(x^2 + 2x) + 3$

$y = 2(x^2 + 2x + 1) - 2 + 3$

$y = 2(x + 1)^2 + 1$

$x = -1$ のとき、最小値 $1$ をとります。最大値はありません。

(4) $y = -2x^2 - 6x$

$y = -2(x^2 + 3x)$

$y = -2(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{2}$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$

$x = -\frac{3}{2}$ のとき、最大値 $\frac{9}{2}$ をとります。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-2$、最大値: なし

(2) 最大値: $5$、最小値: なし

(3) 最小値: $1$、最大値: なし

(4) 最大値: $\frac{9}{2}$、最小値: なし