袋の中に赤球2個と白球4個が入っています。この袋から3個の球を同時に取り出します。取り出した赤球1個につき100円、白球1個につき50円もらえるゲームをすることを考えます。このとき、ゲームの参加料がいくら未満なら参加する方が得で、いくらより高いと損になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と白球4個が入っています。この袋から3個の球を同時に取り出します。取り出した赤球1個につき100円、白球1個につき50円もらえるゲームをすることを考えます。このとき、ゲームの参加料がいくら未満なら参加する方が得で、いくらより高いと損になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、このゲームで得られる金額の期待値を計算します。

3個の球を取り出す組み合わせの総数は、$_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通りです。

取り出す球の組み合わせと、もらえる金額、確率を計算します。

* 赤3個：ありえない

* 赤2個、白1個：$200 + 50 = 250$円。確率は$\frac{_2C_2 \times _4C_1}{_6C_3} = \frac{1 \times 4}{20} = \frac{4}{20}$

* 赤1個、白2個：$100 + 100 = 200$円。確率は$\frac{_2C_1 \times _4C_2}{_6C_3} = \frac{2 \times 6}{20} = \frac{12}{20}$

* 赤0個、白3個：$150$円。確率は$\frac{_2C_0 \times _4C_3}{_6C_3} = \frac{1 \times 4}{20} = \frac{4}{20}$

したがって、得られる金額の期待値は、

$250 \times \frac{4}{20} + 200 \times \frac{12}{20} + 150 \times \frac{4}{20} = \frac{1000 + 2400 + 600}{20} = \frac{4000}{20} = 200$円

期待値が200円なので、参加料が200円未満ならばゲームに参加する方が得である可能性が高く、200円よりも高い場合は損をする可能性が高いです。

3. 最終的な答え

ア：200