画像の問題は、以下の5つの問題から構成されています。 [1] 子供4人と大人3人が横一列に並ぶ場合の数に関する問題。 (1) 並び方の総数を求める。 (2) 両端に大人が並ぶ並び方を求める。 [2] 5人の生徒が円形のテーブルに着席する場合の数を求める。 [3] 10人の生徒から3人を選ぶ場合の数を求める。 [4] 5つの数字1, 1, 2, 2, 3をすべて使ってできる5桁の整数の個数を求める。 [5] 赤玉3個、白玉3個、青玉2個が入っている袋から2個の玉を取り出す確率に関する問題。 (1) 1個取り出して色を確認して戻し、もう1個取り出すとき、白玉、青玉の順に取り出される確率を求める。 (2) 2個の玉を同時に取り出すとき、2個の玉の色が同じである確率を求める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像の問題は、以下の5つの問題から構成されています。

[1] 子供4人と大人3人が横一列に並ぶ場合の数に関する問題。

(1) 並び方の総数を求める。

(2) 両端に大人が並ぶ並び方を求める。

[2] 5人の生徒が円形のテーブルに着席する場合の数を求める。

[3] 10人の生徒から3人を選ぶ場合の数を求める。

[4] 5つの数字1, 1, 2, 2, 3をすべて使ってできる5桁の整数の個数を求める。

[5] 赤玉3個、白玉3個、青玉2個が入っている袋から2個の玉を取り出す確率に関する問題。

(1) 1個取り出して色を確認して戻し、もう1個取り出すとき、白玉、青玉の順に取り出される確率を求める。

(2) 2個の玉を同時に取り出すとき、2個の玉の色が同じである確率を求める。

2. 解き方の手順

[1] (1) 並び方の総数：

7人全員を並べるので、7!通り。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通り

(2) 両端に大人が並ぶ並び方：

まず、両端に並ぶ大人を3人から2人選んで並べるので、$_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。

残りの5人（子供4人と大人1人）を並べるので、5!通り。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り

よって、 $6 \times 120 = 720$ 通り。

[2] 円順列：

5人の生徒が円形のテーブルに着席する方法は、$(5-1)!$通り。

$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

[3] 組み合わせ：

10人から3人を選ぶ組み合わせは、$_{10}C_3$通り。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 通り。

[4] 同じものを含む順列：

5桁の整数を作る場合、同じ数字がそれぞれ2個ずつあるので、

$\frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{4} = 30$ 個。

[5] (1) 確率（復元抽出）：

白玉を取り出す確率は$\frac{3}{8}$。

青玉を取り出す確率は$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。

よって、$\frac{3}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{32}$。

(2) 確率（非復元抽出）：

全事象は$_{8}C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り。

同じ色の玉を取り出すのは、赤玉2個、白玉2個、青玉2個を取り出す場合。

赤玉2個: $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り

白玉2個: $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り

青玉2個: $_2C_2 = 1$ 通り

よって、$\frac{3+3+1}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

[1] (1) 5040 通り

(2) 720 通り

[2] 24 通り

[3] 120 通り

[4] 30 個

[5] (1) $\frac{3}{32}$

(2) $\frac{1}{4}$