一辺が4cmの立方体ABCDEFGHにおいて、三角形BDEの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺が4cmの立方体ABCDEFGHにおいて、三角形BDEの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形BDEがどのような三角形であるかを考えます。

BD, DE, EBはそれぞれ立方体の面の対角線なので、長さは等しいです。

したがって、三角形BDEは正三角形であることがわかります。

正三角形の一辺の長さを求めます。正方形の一辺が4cmなので、三平方の定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$BD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

したがって、三角形BDEの一辺の長さは $4\sqrt{2}$ cmです。

正三角形の面積を求める公式は、$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$です。ここで、$a$は正三角形の一辺の長さです。

$a = 4\sqrt{2}$なので、

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (16 \times 2) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 32 = 8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{3}$ cm$^2$