与えられた2つの式を展開する問題です。 (1) $(x+2)(x-2)(x^2+4)$ (2) $(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)$

代数学展開多項式因数分解式の計算
2025/7/21

1. 問題の内容

与えられた2つの式を展開する問題です。
(1) (x+2)(x2)(x2+4)(x+2)(x-2)(x^2+4)
(2) (x2)(x1)(x+3)(x+4)(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)

2. 解き方の手順

(1) (x+2)(x2)(x2+4)(x+2)(x-2)(x^2+4) の展開
まず、(x+2)(x2)(x+2)(x-2) を計算します。これは和と差の積の公式 a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2 = (a+b)(a-b) を使って、x24x^2-4となります。
(x+2)(x2)=x24 (x+2)(x-2) = x^2 - 4
次に、(x24)(x2+4) (x^2-4)(x^2+4) を計算します。これも和と差の積の公式を使うと、x416x^4-16となります。
(x24)(x2+4)=(x2)242=x416 (x^2-4)(x^2+4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16
(2) (x2)(x1)(x+3)(x+4)(x-2)(x-1)(x+3)(x+4) の展開
順番に展開することも可能ですが、工夫して計算量を減らします。
(x2)(x+3)(x-2)(x+3)(x1)(x+4)(x-1)(x+4) をそれぞれ計算します。
(x2)(x+3)=x2+3x2x6=x2+x6 (x-2)(x+3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6
(x1)(x+4)=x2+4xx4=x2+3x4 (x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4
ここで、さらに計算量を減らすために、x2+x6x^2 + x - 6(x2+3x4)2x2(x^2+3x-4) -2x-2と変形し、計算します。
(x2+x6)(x2+3x4)=(x2+3x42x2)(x2+3x4)=(x2+3x4)(x2+3x4)(2x+2)(x2+3x4)(x^2 + x - 6)(x^2 + 3x - 4) = (x^2+3x-4-2x-2)(x^2 + 3x - 4) = (x^2+3x-4)(x^2 + 3x - 4) - (2x+2)(x^2+3x-4)
と計算を進めるよりも、以下のように変形して計算する方が良いです。
(x2)(x1)(x+3)(x+4)(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)
= (x2)(x+3)(x1)(x+4)(x-2)(x+3)(x-1)(x+4)
= (x2+x6)(x2+3x4)(x^2+x-6)(x^2+3x-4)
x2+x=Ax^2+x = A と置換します。
(A6)(A+2x4)(A-6)(A+2x-4)
= A2+2xA4A6A12x+24A^2 + 2xA - 4A - 6A - 12x + 24
= A2+2xA10A12x+24A^2 + 2xA - 10A - 12x + 24
A=x2+xA = x^2+x を代入します。
(x2+x)2+2x(x2+x)10(x2+x)12x+24(x^2+x)^2 + 2x(x^2+x) - 10(x^2+x) - 12x + 24
= x4+2x3+x2+2x3+2x210x210x12x+24x^4+2x^3+x^2 + 2x^3+2x^2 - 10x^2-10x - 12x + 24
= x4+4x37x222x+24x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 22x + 24

3. 最終的な答え

(1) x416x^4 - 16
(2) x4+4x37x222x+24x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 22x + 24

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