問題は、与えられた4つの2次関数 $y = x^2 - x - 6$, $y = -x^2 + 3x - 1$, $y = 2x^2 + 4x + 2$, $y = 2x^2 - 5x - 3$ について、それぞれのグラフとx軸との共有点の座標を求め、さらに、x軸に接するものがどれかを判別することです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた4つの2次関数 $y = x^2 - x - 6$, $y = -x^2 + 3x - 1$, $y = 2x^2 + 4x + 2$, $y = 2x^2 - 5x - 3$ について、それぞれのグラフとx軸との共有点の座標を求め、さらに、x軸に接するものがどれかを判別することです。

2. 解き方の手順

各2次関数について、$y=0$ とおいた2次方程式を解きます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いて以下のように求められます。

* $D > 0$ のとき：異なる2つの実数解を持ち、x軸と2つの共有点を持ちます。

* $D = 0$ のとき：重解を持ち、x軸と1つの共有点（接点）を持ちます。

* $D < 0$ のとき：実数解を持たず、x軸と共有点を持ちません。

各関数の判別式を計算し、解の個数と座標を求めます。

(1) $y = x^2 - x - 6$ のとき、$x^2 - x - 6 = 0$ を解きます。

$D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 > 0$

$(x-3)(x+2) = 0$ より、$x = 3, -2$。

共有点の座標は $(3, 0)$ と $(-2, 0)$。

(2) $y = -x^2 + 3x - 1$ のとき、$-x^2 + 3x - 1 = 0$ を解きます。

$x^2 - 3x + 1 = 0$

$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0$

解の公式より、$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$。

共有点の座標は $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$ と $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$。

(3) $y = 2x^2 + 4x + 2$ のとき、$2x^2 + 4x + 2 = 0$ を解きます。

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$ より、$x = -1$。

重解なので、x軸に接します。共有点の座標は $(-1, 0)$。

(4) $y = 2x^2 - 5x - 3$ のとき、$2x^2 - 5x - 3 = 0$ を解きます。

$(2x+1)(x-3) = 0$ より、$x = 3, -\frac{1}{2}$。

共有点の座標は $(3, 0)$ と $(-\frac{1}{2}, 0)$。

x軸に接するのは(3)のみです。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の座標：(3, 0), (-2, 0)

(2) 共有点の座標：$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$

(3) 共有点の座標：(-1, 0)　x軸に接する

(4) 共有点の座標：(3, 0), (-1/2, 0)

x軸に接するものは(3)。