与えられた行列 $A$ が正則行列となるような実数 $a$ の条件を求め、そのときの逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。 行列 $A$ は以下で与えられます。 $ A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & a \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ が正則行列となるような実数 $a$ の条件を求め、そのときの逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

行列 $A$ は以下で与えられます。

$$

A = \begin{bmatrix}

0 & -1 & 4 \\

2 & 1 & a \\

-1 & 0 & -1

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ が正則であるための条件は、その行列式が0でないことです。したがって、行列式 $\det(A)$ を計算し、$a$ について解きます。

$\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = 0\cdot(1\cdot(-1) - a\cdot0) - (-1)\cdot(2\cdot(-1) - a\cdot(-1)) + 4\cdot(2\cdot0 - 1\cdot(-1))$

$\det(A) = 0 + (-2 + a) + 4(0+1)$

$\det(A) = -2 + a + 4$

$\det(A) = a + 2$

行列 $A$ が正則であるためには、$\det(A) \neq 0$ である必要があります。

$a+2 \neq 0$

$a \neq -2$

次に、$a \neq -2$ のとき、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{adj}(A)$

ここで、$\mathrm{adj}(A)$ は $A$ の余因子行列の転置です。

$A$ の余因子行列を計算します。

$C_{11} = (1)(-1) - (a)(0) = -1$

$C_{12} = -(2(-1) - a(-1)) = 2 - a$

$C_{13} = (2)(0) - (1)(-1) = 1$

$C_{21} = -((-1)(-1) - (4)(0)) = -1$

$C_{22} = (0)(-1) - (4)(-1) = 4$

$C_{23} = -(0(0) - (-1)(-1)) = 1$

$C_{31} = (-1)(a) - (4)(1) = -a - 4$

$C_{32} = -(0(a) - (4)(2)) = 8$

$C_{33} = (0)(1) - (-1)(2) = 2$

余因子行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} -1 & 2-a & 1 \\ -1 & 4 & 1 \\ -a-4 & 8 & 2 \end{bmatrix}$

余因子行列の転置 (随伴行列) は次のようになります。

$\mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -a-4 \\ 2-a & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

したがって、$A$ の逆行列は次のようになります。

$A^{-1} = \frac{1}{a+2} \begin{bmatrix} -1 & -1 & -a-4 \\ 2-a & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$a \neq -2$ のとき、行列 $A$ は正則であり、その逆行列は次のようになります。

$A^{-1} = \frac{1}{a+2} \begin{bmatrix} -1 & -1 & -a-4 \\ 2-a & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$