ベクトル $\vec{a} = (1, -2, -3)$ と $\vec{b} = (2, 3, 1)$ が与えられているとき、以下の2つの式を同時に満たすベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ の成分表示を求める問題です。 $3\vec{x} + \vec{y} = \vec{a}$ $5\vec{x} + 2\vec{y} = \vec{b}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -2, -3)$ と $\vec{b} = (2, 3, 1)$ が与えられているとき、以下の2つの式を同時に満たすベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ の成分表示を求める問題です。

$3\vec{x} + \vec{y} = \vec{a}$

$5\vec{x} + 2\vec{y} = \vec{b}$

2. 解き方の手順

与えられた2つの式から $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を求める連立方程式を解きます。

まず、1番目の式を2倍します。

$6\vec{x} + 2\vec{y} = 2\vec{a}$

次に、2番目の式から上記の式を引きます。

$(5\vec{x} + 2\vec{y}) - (6\vec{x} + 2\vec{y}) = \vec{b} - 2\vec{a}$

$-\vec{x} = \vec{b} - 2\vec{a}$

$\vec{x} = 2\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の値を代入します。

$\vec{x} = 2(1, -2, -3) - (2, 3, 1)$

$\vec{x} = (2, -4, -6) - (2, 3, 1)$

$\vec{x} = (2-2, -4-3, -6-1)$

$\vec{x} = (0, -7, -7)$

次に、1番目の式から $\vec{y}$ を求めます。

$\vec{y} = \vec{a} - 3\vec{x}$

$\vec{y} = (1, -2, -3) - 3(0, -7, -7)$

$\vec{y} = (1, -2, -3) - (0, -21, -21)$

$\vec{y} = (1-0, -2-(-21), -3-(-21))$

$\vec{y} = (1, 19, 18)$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = (0, -7, -7)$

$\vec{y} = (1, 19, 18)$