不等式 $2^{132} - 2^{67} < 10^{40} < 2^{134} - 2^{68}$ を、 $0.3010 < \log_{10} 2 < 0.3011$ を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

不等式 $2^{132} - 2^{67} < 10^{40} < 2^{134} - 2^{68}$ を、 $0.3010 < \log_{10} 2 < 0.3011$ を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の左側の不等式 $2^{132} - 2^{67} < 10^{40}$ を証明する。

次に、与えられた不等式の右側の不等式 $10^{40} < 2^{134} - 2^{68}$ を証明する。

(1) $2^{132} - 2^{67} < 10^{40}$ の証明

$2^{132} - 2^{67} = 2^{67}(2^{65} - 1)$

$\log_{10}(2^{132} - 2^{67}) = \log_{10}(2^{67}(2^{65} - 1)) = 67\log_{10} 2 + \log_{10}(2^{65} - 1)$

ここで、 $2^{65} - 1 < 2^{65}$ より、 $\log_{10}(2^{65} - 1) < \log_{10} 2^{65} = 65 \log_{10} 2$

$\log_{10}(2^{132} - 2^{67}) < 67\log_{10} 2 + 65\log_{10} 2 = 132\log_{10} 2$

与えられた条件より、 $\log_{10} 2 < 0.3011$ なので、

$132 \log_{10} 2 < 132 \times 0.3011 = 39.7452 < 40$

したがって、 $\log_{10}(2^{132} - 2^{67}) < 40$

$2^{132} - 2^{67} < 10^{40}$

(2) $10^{40} < 2^{134} - 2^{68}$ の証明

$2^{134} - 2^{68} = 2^{68}(2^{66} - 1)$

$\log_{10}(2^{134} - 2^{68}) = \log_{10}(2^{68}(2^{66} - 1)) = 68\log_{10} 2 + \log_{10}(2^{66} - 1)$

$2^{66} - 1 > 2^{66} - 2^0 = 2^{66}(1 - 2^{-66})$に近いので、$2^{66} - 1 \approx 2^{66}$と考える。

$2^{66} - 1 > \frac{3}{4} 2^{66}$

$\log_{10}(2^{66}-1) > \log_{10}(\frac{3}{4}2^{66}) = \log_{10}3 - \log_{10}4 + 66\log_{10}2 = \log_{10}3 - 2\log_{10}2 + 66\log_{10}2 = \log_{10}3 + 64\log_{10}2$

したがって、

$\log_{10}(2^{134} - 2^{68}) > 68\log_{10} 2 + \log_{10}3 + 64\log_{10} 2 = 132\log_{10} 2 + \log_{10} 3$

与えられた条件より、 $0.3010 < \log_{10} 2$ なので、

$132\log_{10} 2 > 132 \times 0.3010 = 39.732$

$\log_{10} 3 \approx 0.4771$ より、

$132\log_{10} 2 + \log_{10} 3 > 39.732 + 0.4771 = 40.2091 > 40$

したがって、 $\log_{10}(2^{134} - 2^{68}) > 40$

$2^{134} - 2^{68} > 10^{40}$

(1)(2)より、$2^{132} - 2^{67} < 10^{40} < 2^{134} - 2^{68}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$2^{132} - 2^{67} < 10^{40} < 2^{134} - 2^{68}$ が証明された。