問題文は以下の通りです。 「$(x-p)(x-q)-2x+1=0$ の解を $\alpha, \beta$ とするとき、 $(x-\alpha)(x-\beta)+2x-1=0$ の解を $p, q$ を用いて表せ。」

代数学二次方程式解と係数の関係因数分解式の展開
2025/7/21

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。
(xp)(xq)2x+1=0(x-p)(x-q)-2x+1=0 の解を α,β\alpha, \beta とするとき、 (xα)(xβ)+2x1=0(x-\alpha)(x-\beta)+2x-1=0 の解を p,qp, q を用いて表せ。」

2. 解き方の手順

まず、(xp)(xq)2x+1=0(x-p)(x-q)-2x+1=0 を展開します。
x2(p+q)x+pq2x+1=0x^2 - (p+q)x + pq - 2x + 1 = 0
x2(p+q+2)x+(pq+1)=0x^2 - (p+q+2)x + (pq+1) = 0
この方程式の解が α,β\alpha, \beta であるので、解と係数の関係より、
α+β=p+q+2\alpha + \beta = p + q + 2
αβ=pq+1\alpha\beta = pq + 1
次に、(xα)(xβ)+2x1=0(x-\alpha)(x-\beta)+2x-1=0 を展開します。
x2(α+β)x+αβ+2x1=0x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta + 2x - 1 = 0
x2(α+β2)x+(αβ1)=0x^2 - (\alpha+\beta-2)x + (\alpha\beta-1) = 0
ここで、先程求めた α+β=p+q+2\alpha + \beta = p + q + 2αβ=pq+1\alpha\beta = pq + 1 を代入します。
x2(p+q+22)x+(pq+11)=0x^2 - (p+q+2-2)x + (pq+1-1) = 0
x2(p+q)x+pq=0x^2 - (p+q)x + pq = 0
(xp)(xq)=0(x-p)(x-q) = 0
したがって、x=p,qx = p, q がこの方程式の解となります。

3. 最終的な答え

p,qp, q

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