点 $(2, -2)$ から曲線 $C_1: y = \frac{1}{3}x^3 - x$ に引いた接線の方程式を求める問題です。ただし、接点の $x$ 座標は正とします。求める接線の方程式は $y = [38]x - [39][40]$ の形式で表されます。

1. 問題の内容

点 $(2, -2)$ から曲線 $C_1: y = \frac{1}{3}x^3 - x$ に引いた接線の方程式を求める問題です。ただし、接点の $x$ 座標は正とします。求める接線の方程式は $y = [38]x - [39][40]$ の形式で表されます。

2. 解き方の手順

1. 接点の $x$ 座標を $t$ とおきます。すると、接点の $y$ 座標は $\frac{1}{3}t^3 - t$ となります。したがって、接点の座標は $(t, \frac{1}{3}t^3 - t)$ と表されます。

2. 曲線 $C_1$ の導関数を求めます。

$y' = \frac{d}{dx} (\frac{1}{3}x^3 - x) = x^2 - 1$

3. 接線の方程式は、接点 $(t, \frac{1}{3}t^3 - t)$ における傾き $t^2 - 1$ を用いて、次のように表されます。

$y - (\frac{1}{3}t^3 - t) = (t^2 - 1)(x - t)$

4. この接線は点 $(2, -2)$ を通るので、これを代入します。

$-2 - (\frac{1}{3}t^3 - t) = (t^2 - 1)(2 - t)$

$-2 - \frac{1}{3}t^3 + t = 2t^2 - t^3 - 2 + t$

5. 上記の式を整理します。

$-\frac{1}{3}t^3 + t^3 - 2t^2 = 0$

$\frac{2}{3}t^3 - 2t^2 = 0$

$2t^2(\frac{1}{3}t - 1) = 0$

$t^2(t - 3) = 0$

6. $t=0$ または $t=3$ となります。ただし、接点の $x$ 座標は正なので、$t=3$ です。

7. 接点の座標は $(3, \frac{1}{3}(3)^3 - 3) = (3, 9 - 3) = (3, 6)$ となります。

8. 接線の傾きは $t^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ となります。

9. よって、接線の方程式は $y - 6 = 8(x - 3)$ となり、$y = 8x - 24 + 6 = 8x - 18$ となります。

3. 最終的な答え

38: 8

39: 1

40: 8

したがって、接線の方程式は $y = 8x - 18$ です。