(1) $a, b$ は有理数とするとき、$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、命題 $a + b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a=b=0$ を証明する。 (2) $a + b\sqrt{2} = -1 + 3\sqrt{2}$ を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。

代数学無理数有理数命題方程式
2025/7/21

1. 問題の内容

(1) a,ba, b は有理数とするとき、2\sqrt{2} が無理数であることを用いて、命題 a+b2=0a=b=0a + b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a=b=0 を証明する。
(2) a+b2=1+32a + b\sqrt{2} = -1 + 3\sqrt{2} を満たす有理数 a,ba, b の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)
a+b2=0a + b\sqrt{2} = 0 を仮定する。
ここで、b0b \neq 0 と仮定すると、
2=ab\sqrt{2} = -\frac{a}{b} となる。
aabb は有理数であるから、ab-\frac{a}{b} も有理数となる。
これは 2\sqrt{2} が無理数であることに矛盾する。
したがって、b=0b=0 である。
a+b2=0a + b\sqrt{2} = 0b=0b=0 を代入すると、a=0a = 0 となる。
よって、a=b=0a=b=0 である。
したがって、命題 a+b2=0a=b=0a + b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a=b=0 は証明された。
(2)
a+b2=1+32a + b\sqrt{2} = -1 + 3\sqrt{2} を変形して、
a+1=(3b)2a + 1 = (3-b)\sqrt{2}
もし 3b03-b \neq 0 ならば、
2=a+13b\sqrt{2} = \frac{a+1}{3-b} となる。
aabb が有理数であるから、a+13b\frac{a+1}{3-b} も有理数となる。
これは 2\sqrt{2} が無理数であることに矛盾する。
したがって、3b=03-b = 0 となり、b=3b=3 である。
a+1=(3b)2=0a + 1 = (3-b)\sqrt{2} = 0 より、 a=1a = -1 である。

3. 最終的な答え

(1) 証明終わり
(2) a=1,b=3a = -1, b = 3

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