(1) $a, b$ は有理数とするとき、$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、命題 $a + b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a=b=0$ を証明する。 (2) $a + b\sqrt{2} = -1 + 3\sqrt{2}$ を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。
2025/7/21
1. 問題の内容
(1) は有理数とするとき、 が無理数であることを用いて、命題 を証明する。
(2) を満たす有理数 の値を求める。
2. 解き方の手順
(1)
を仮定する。
ここで、 と仮定すると、
となる。
と は有理数であるから、 も有理数となる。
これは が無理数であることに矛盾する。
したがって、 である。
に を代入すると、 となる。
よって、 である。
したがって、命題 は証明された。
(2)
を変形して、
もし ならば、
となる。
と が有理数であるから、 も有理数となる。
これは が無理数であることに矛盾する。
したがって、 となり、 である。
より、 である。
3. 最終的な答え
(1) 証明終わり
(2)