(1) $a, b$ は有理数であるとき、$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明する。 (2) $a + b\sqrt{2} = -1 + 3\sqrt{2}$ を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $a, b$ は有理数であるとき、$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明する。

(2) $a + b\sqrt{2} = -1 + 3\sqrt{2}$ を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a + b\sqrt{2} = 0$ を仮定する。

$b \neq 0$ と仮定すると、$\sqrt{2} = -\frac{a}{b}$ となる。

ここで $a, b$ は有理数なので、$-\frac{a}{b}$ も有理数である。

これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

したがって、$b = 0$ でなければならない。

$b = 0$ を $a + b\sqrt{2} = 0$ に代入すると、$a + 0 \cdot \sqrt{2} = 0$ となり、$a = 0$ が得られる。

よって、$a = b = 0$ が証明された。

(2)

$a + b\sqrt{2} = -1 + 3\sqrt{2}$ を満たす有理数 $a, b$ を求める。

式を変形して、$a + 1 = (3 - b)\sqrt{2}$ とする。

ここで、$a$ と $b$ は有理数である。

$3 - b \neq 0$ と仮定すると、$\sqrt{2} = \frac{a+1}{3-b}$ となる。

ここで $a, b$ は有理数なので、$\frac{a+1}{3-b}$ も有理数である。

これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

したがって、$3 - b = 0$ でなければならない。

これにより $b = 3$ が得られる。

$b = 3$ を $a + 1 = (3 - b)\sqrt{2}$ に代入すると、$a + 1 = (3 - 3)\sqrt{2} = 0$ となり、$a = -1$ が得られる。

よって、$a = -1, b = 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明した。

(2) $a = -1, b = 3$