2つの曲線 $y=ax^2+b$ と $y=2x^3+cx$ が点 $(-1, 0)$ で共通な接線を持つとき、定数 $a, b, c$ の値を求め、そのときの接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y=ax^2+b$ と $y=2x^3+cx$ が点 $(-1, 0)$ で共通な接線を持つとき、定数 $a, b, c$ の値を求め、そのときの接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線が点 $(-1, 0)$ を通る条件から $a$ と $b$, $c$ の関係式を導きます。

次に、それぞれの曲線の $x = -1$ における微分係数（接線の傾き）が等しいことから、別の関係式を導きます。

これらの関係式を解くことで、$a, b, c$ の値を求めます。最後に、求めた $a, b, c$ の値を用いて接線の方程式を求めます。

* 曲線 $y=ax^2+b$ が $(-1, 0)$ を通るので、

$0 = a(-1)^2 + b$ より

$a + b = 0$ (1)

* 曲線 $y=2x^3+cx$ が $(-1, 0)$ を通るので、

$0 = 2(-1)^3 + c(-1)$ より

$-2 - c = 0$ (2)

* $y=ax^2+b$ を微分すると、 $y' = 2ax$ なので、 $x=-1$ における接線の傾きは $-2a$

* $y=2x^3+cx$ を微分すると、 $y' = 6x^2+c$ なので、 $x=-1$ における接線の傾きは $6+c$

接線の傾きが等しいので、 $-2a = 6+c$ (3)

(2)より、 $c = -2$

(3)に代入して、 $-2a = 6 - 2 = 4$

よって $a = -2$

(1)に代入して、 $-2 + b = 0$

よって $b = 2$

共通の接線の傾きは $-2a = -2(-2) = 4$

接点は $(-1, 0)$ なので、接線の方程式は

$y - 0 = 4(x - (-1))$

$y = 4x + 4$

3. 最終的な答え

$a = -2, b = 2, c = -2$

接線の方程式：$y = 4x + 4$