与えられた二つの関数 $f(x, y)$ が点 $(0, 0)$ で全微分可能であるかどうかを判定します。 (1) $ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} $ (2) $ f(x,y) = \begin{cases} xy \arcsin(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}) & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} $

以下に、与えられた関数の全微分可能性の判定を行います。

1. 問題の内容

与えられた二つの関数 $f(x, y)$ が点 $(0, 0)$ で全微分可能であるかどうかを判定します。

(1)

$$

f(x,y) =

\begin{cases}

\frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases}

$$

(2)

$$

f(x,y) =

\begin{cases}

xy \arcsin(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}) & (x,y) \neq (0,0) \\

0 & (x,y) = (0,0)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

まず、偏微分係数を計算します。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

次に、全微分可能性を調べます。

$f(x,y)$ が $(0,0)$ で全微分可能であるとは、

$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + o(\sqrt{x^2+y^2})$

となることです。つまり、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$

が成り立つことです。

この場合、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} - 0 - 0x - 0y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x|y|}{x^2+y^2}$

となります。

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ とすると、

$\lim_{r\to 0} \frac{r\cos\theta |r\sin\theta|}{r^2} = \lim_{r\to 0} \frac{r^2 \cos\theta |\sin\theta|}{r^2} = \lim_{r\to 0} \cos\theta |\sin\theta| = \cos\theta |\sin\theta|$

これは $\theta$ に依存するため、$(0, 0)$ での極限は存在しません。

したがって、$f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で全微分可能ではありません。

(2)

まず、偏微分係数を計算します。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 0 \cdot \arcsin(\frac{h^2 - 0}{h^2+0}) - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 \cdot k \cdot \arcsin(\frac{0 - k^2}{0+k^2}) - 0}{k} = 0$

次に、全微分可能性を調べます。

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy \arcsin(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}$

となります。

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ とすると、

$\lim_{r\to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta \arcsin(\frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta})}{r} = \lim_{r\to 0} r \cos\theta \sin\theta \arcsin(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = \lim_{r\to 0} r \cos\theta \sin\theta \arcsin(\cos(2\theta))$

$\lim_{r\to 0} r \cos\theta \sin\theta \arcsin(\cos(2\theta)) = 0$

したがって、$f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で全微分可能です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で全微分可能ではない。

(2) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で全微分可能である。