与えられた問題は、極限 $\lim_{u \to +0} \sqrt{u \ln u}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限 $\lim_{u \to +0} \sqrt{u \ln u}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$u \to +0$ のとき、$u \ln u$ がどうなるかを調べます。

$u \to +0$ のとき、$u \to 0$ であり、$\ln u \to -\infty$ です。

したがって、$u \ln u$ は $0 \times (-\infty)$ の不定形となります。

この不定形を解消するために、$u \ln u$ を $\frac{\ln u}{1/u}$ の形に変形し、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{u \to +0} \frac{\ln u}{1/u} = \lim_{u \to +0} \frac{1/u}{-1/u^2} = \lim_{u \to +0} (-u) = 0$

したがって、$\lim_{u \to +0} u \ln u = 0$ です。

次に、$\lim_{u \to +0} \sqrt{u \ln u}$ を計算します。

$\lim_{u \to +0} \sqrt{u \ln u} = \sqrt{\lim_{u \to +0} u \ln u} = \sqrt{0} = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{u \to +0} \sqrt{u \ln u} = 0$