与えられた極限を計算します。 $\lim_{u \to +0} \frac{\sqrt{u}}{\ln u}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{u \to +0} \frac{\sqrt{u}}{\ln u}$

2. 解き方の手順

$u \to +0$ のとき、$\sqrt{u} \to 0$ かつ $\ln u \to -\infty$ であることに注意します。したがって、この極限は $\frac{0}{-\infty}$ の形をしていると見なすことができます。

このことから、極限は0に収束すると考えられます。厳密に証明するために、ロピタルの定理を適用します。

しかし、$\sqrt{u}$を微分すると、$u^{-1/2}$という項が出てきて、$u\to 0$で発散してしまうため、直接ロピタルの定理を適用することは適切ではありません。

$\frac{\sqrt{u}}{\ln u}$ の形の極限を直接評価します。

$u \to 0+$のとき、$\sqrt{u} \to 0$であり、$\ln u \to -\infty$ です。したがって、$\frac{\sqrt{u}}{\ln u}$ は0に近づきます。

例えば、$u = e^{-2x}$と置換すると、$u\to 0+$のとき、$x\to \infty$となり、

$\frac{\sqrt{u}}{\ln u} = \frac{\sqrt{e^{-2x}}}{\ln (e^{-2x})} = \frac{e^{-x}}{-2x} = -\frac{1}{2} \frac{e^{-x}}{x}$となります。

$x \to \infty$のとき、$e^{-x} \to 0$ であり、$x \to \infty$であるから、$\frac{e^{-x}}{x} \to 0$です。

したがって、

$\lim_{u \to +0} \frac{\sqrt{u}}{\ln u} = 0$

3. 最終的な答え

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