放物線 $y = x^2 + x - 1$ と直線 $y = mx$ で囲まれた部分の面積 $S$ が最小となるような定数 $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + x - 1$ と直線 $y = mx$ で囲まれた部分の面積 $S$ が最小となるような定数 $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線と直線の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 + x - 1 = mx$

$x^2 + (1-m)x - 1 = 0$

この2次方程式の解を $\alpha$, $\beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、

$\alpha + \beta = m-1$

$\alpha \beta = -1$

囲まれた部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{mx - (x^2 + x - 1)\} dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{-x^2 + (m-1)x + 1 \} dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{m-1}{2}x^2 + x \right]_{\alpha}^{\beta}$

$S = -\frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) + \frac{m-1}{2}(\beta^2 - \alpha^2) + (\beta - \alpha)$

$S = -\frac{1}{3}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{m-1}{2}(\beta - \alpha)(\beta + \alpha) + (\beta - \alpha)$

$S = (\beta - \alpha) \left\{ -\frac{1}{3}((\beta + \alpha)^2 - \alpha\beta) + \frac{m-1}{2}(\beta + \alpha) + 1 \right\}$

ここで、$(\beta - \alpha)^2 = (\beta + \alpha)^2 - 4\alpha\beta = (m-1)^2 - 4(-1) = (m-1)^2 + 4$ より、

$\beta - \alpha = \sqrt{(m-1)^2 + 4}$

$S = \sqrt{(m-1)^2 + 4} \left\{ -\frac{1}{3}((m-1)^2 + 1) + \frac{m-1}{2}(m-1) + 1 \right\}$

$S = \sqrt{(m-1)^2 + 4} \left\{ -\frac{1}{3}(m^2 - 2m + 2) + \frac{1}{2}(m^2 - 2m + 1) + 1 \right\}$

$S = \sqrt{(m-1)^2 + 4} \left\{ \frac{-2(m^2 - 2m + 2) + 3(m^2 - 2m + 1) + 6}{6} \right\}$

$S = \sqrt{(m-1)^2 + 4} \left\{ \frac{m^2 - 2m + 5}{6} \right\}$

$S = \frac{1}{6} \sqrt{(m-1)^2 + 4} \left\{ (m-1)^2 + 4 \right\}$

$S = \frac{1}{6} \left\{ (m-1)^2 + 4 \right\}^{\frac{3}{2}}$

$S$ を最小にするのは $(m-1)^2 = 0$ のときなので、$m = 1$

3. 最終的な答え

$m = 1$