与えられた3つの広義積分を計算します。 (1) $\int_0^1 x \log x \, dx$ (2) $\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x}}$ (3) $\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

はい、承知いたしました。次の広義積分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの広義積分を計算します。

(1) $\int_0^1 x \log x \, dx$

(2) $\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x}}$

(3) $\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 x \log x \, dx$

部分積分を用いて計算します。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int_0^1 x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 x \, dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_0^1 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1$

ここで $\lim_{x \to 0} x^2 \log x = 0$ であることを利用します。

$= \left( \frac{1^2}{2} \log 1 - 0 \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1^2}{2} - 0 \right)$

$= 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

(2) $\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x}}$

$\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_0^2 x^{-1/2} \, dx$

$= \left[ 2x^{1/2} \right]_0^2 = 2\sqrt{2} - 0 = 2\sqrt{2}$

(3) $\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \int_{-1}^1 x^{-2/3} \, dx$

$= \left[ 3x^{1/3} \right]_{-1}^1 = 3(1^{1/3} - (-1)^{1/3}) = 3(1 - (-1)) = 3(2) = 6$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{4}$

(2) $2\sqrt{2}$

(3) $6$