次の2つの不定積分を計算します。 a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$ c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を計算します。

a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

2. 解き方の手順

a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$ を計算します。まず、被積分関数を多項式と真分数式に分解します。

$x^3 = x(x^2 - 1) + x$ であるから、

$\frac{x^3}{x^2 - 1} = x + \frac{x}{x^2 - 1}$

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx = \int \left(x + \frac{x}{x^2 - 1}\right) dx = \int x dx + \int \frac{x}{x^2 - 1} dx$

ここで、$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$ です。

次に、$\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$ を計算します。

$x^2 - 1 = u$ と置換すると、$2x dx = du$ より、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

したがって、

$\int \frac{x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C_2$

よって、

$\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$ を計算します。

部分分数分解を行います。

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$ とおくと、

$x = A(x-2) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき、 $-1 = A(-1-2) + B(-1+1)$ より $-1 = -3A$ となるので、$A = \frac{1}{3}$

$x = 2$ のとき、 $2 = A(2-2) + B(2+1)$ より $2 = 3B$ となるので、$B = \frac{2}{3}$

したがって、$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{2/3}{x-2}$

$\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx = \int \left(\frac{1/3}{x+1} + \frac{2/3}{x-2}\right) dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C$

3. 最終的な答え

a) $\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C$

c) $\frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C$