関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ (a, b は定数) が $x=1$ で極値 2 をとるとき、以下の問いに答える。 (1) a, b の値を求める。 (2) 曲線 $C: y = f(x)$ と直線 $l: y = mx$ が原点以外で接するとき、m の値と接点の座標を求める。 (3) (2) で求めた直線 l と曲線 C で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ (a, b は定数) が $x=1$ で極値 2 をとるとき、以下の問いに答える。

(1) a, b の値を求める。

(2) 曲線 $C: y = f(x)$ と直線 $l: y = mx$ が原点以外で接するとき、m の値と接点の座標を求める。

(3) (2) で求めた直線 l と曲線 C で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ より、$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ である。

$x=1$ で極値 2 をとるので、$f(1) = 2$ かつ $f'(1) = 0$ である。

$f(1) = 1 + a + b = 2$ より、$a + b = 1$

$f'(1) = 3 + 2a + b = 0$ より、$2a + b = -3$

これらを連立して解くと、

$a = -4$、$b = 5$

(2) (1) より、$f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x$ である。

曲線 C: $y = x^3 - 4x^2 + 5x$ と直線 l: $y = mx$ が原点以外で接するとする。

接点の x 座標を t (t ≠ 0) とすると、$t^3 - 4t^2 + 5t = mt$ となる。

また、接点における接線の傾きが等しいので、$3t^2 - 8t + 5 = m$ となる。

$t^3 - 4t^2 + 5t = mt$ より、$t^2 - 4t + 5 = m$ (∵ t ≠ 0)

$3t^2 - 8t + 5 = m$ より、

$3t^2 - 8t + 5 = t^2 - 4t + 5$

$2t^2 - 4t = 0$

$2t(t-2) = 0$

$t = 0, 2$

t ≠ 0 より、$t = 2$ である。

$m = t^2 - 4t + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$

接点の座標は、$(2, 2)$ である。

(3) 曲線 $C: y = x^3 - 4x^2 + 5x$ と直線 $l: y = x$ で囲まれた部分の面積を求める。

$x^3 - 4x^2 + 5x = x$

$x^3 - 4x^2 + 4x = 0$

$x(x^2 - 4x + 4) = 0$

$x(x-2)^2 = 0$

$x = 0, 2$

囲まれた部分の面積は、$\int_0^2 (x^3 - 4x^2 + 5x - x) dx = \int_0^2 (x^3 - 4x^2 + 4x) dx$

$\int_0^2 (x^3 - 4x^2 + 4x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2]_0^2 = \frac{1}{4}(16) - \frac{4}{3}(8) + 2(4) = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -4$, $b = 5$

(2) $m = 1$, 接点の座標は $(2, 2)$

(3) $\frac{4}{3}$