放物線 $y = x^2 + x - 1$ と直線 $y = mx$ で囲まれた部分の面積 $S$ が最小となるように、定数 $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + x - 1$ と直線 $y = mx$ で囲まれた部分の面積 $S$ が最小となるように、定数 $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 + x - 1 = mx$

$x^2 + (1-m)x - 1 = 0$

この2次方程式の解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とします。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = m - 1$

$\alpha \beta = -1$

囲まれた部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (mx - (x^2 + x - 1)) dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (-x^2 + (m-1)x + 1) dx$

$S = -\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (m-1)x - 1) dx$

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{m-1}{2}x^2 - x \right]_{\alpha}^{\beta}$

$S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha) \left( 2(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) - 3(m-1)(\alpha + \beta) - 6 \right)$

$S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha) \left( 2((\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta) - 3(m-1)(\alpha + \beta) - 6 \right)$

$S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha) \left( 2((m-1)^2 + 1) - 3(m-1)(m-1) - 6 \right)$

$S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha) \left( 2(m^2 - 2m + 2) - 3(m^2 - 2m + 1) - 6 \right)$

$S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha) \left( 2m^2 - 4m + 4 - 3m^2 + 6m - 3 - 6 \right)$

$S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha) \left( -m^2 + 2m - 5 \right)$

また、$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (m-1)^2 + 4 = m^2 - 2m + 5$

$\beta - \alpha = \sqrt{m^2 - 2m + 5}$

$S = -\frac{1}{6} \sqrt{m^2 - 2m + 5} (-m^2 + 2m - 5)$

$S = \frac{1}{6} (m^2 - 2m + 5)^{\frac{3}{2}}$

$S$ が最小となるのは、 $m^2 - 2m + 5$ が最小となるとき。

$m^2 - 2m + 5 = (m-1)^2 + 4$

これは $m=1$ のときに最小値4をとる。

したがって、$S$ が最小となるのは $m = 1$ のときである。

3. 最終的な答え

$m = 1$