5人が参加するパーティーで、各自1つずつプレゼントを用意し、抽選で全員に分けます。特定の2人A, Bが自分のプレゼントを受け取り、残りの3人が自分のプレゼント以外を受け取る場合の数を求める問題と、1人だけが自分のプレゼントを受け取る場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

5人が参加するパーティーで、各自1つずつプレゼントを用意し、抽選で全員に分けます。特定の2人A, Bが自分のプレゼントを受け取り、残りの3人が自分のプレゼント以外を受け取る場合の数を求める問題と、1人だけが自分のプレゼントを受け取る場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 特定の2人A, Bが自分のプレゼントを受け取る場合:

まずAとBが自分のプレゼントを受け取ることを確定させます。残りの3人C, D, Eが自分のプレゼントを受け取らないように分けます。

C, D, Eが誰も自分のプレゼントを受け取らないような分け方を考えます。これは完全順列（または攪乱順列）の問題です。3人の場合の完全順列の数は2通りです。

これは以下のようになります。

- CがDのプレゼント、DがEのプレゼント、EがCのプレゼントを受け取る。

- CがEのプレゼント、DがCのプレゼント、EがDのプレゼントを受け取る。

よって、特定の2人A, Bが自分のプレゼントを受け取り、残りの3人が自分のプレゼント以外を受け取る場合の数は2通りです。

(2) 1人だけが自分のプレゼントを受け取る場合:

まず、誰が自分のプレゼントを受け取るかを選びます。5人の中から1人を選ぶので、その選び方は ${}_5C_1 = 5$ 通りです。

残りの4人が誰も自分のプレゼントを受け取らないように分けます。4人の完全順列の数は9通りです。

4人の完全順列の数は以下の式で計算できます。

$D_n = n! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... + (-1)^n \frac{1}{n!})$

$D_4 = 4! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 24(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}) = 12 - 4 + 1 = 9$

よって、1人だけが自分のプレゼントを受け取る場合の数は $5 \times 9 = 45$ 通りです。

3. 最終的な答え

特定の2人A, Bが自分のプレゼントを受け取り、残りの3人が自分のプレゼント以外を受け取る場合の数は 2 です。

1人だけが自分が用意したプレゼントを受け取る場合の数は 45 です。