(1) HGAKUENの7文字から6文字を選び、辞書式に並べたとき、GAKUENは何番目になるか。ただし、同じ文字は繰り返し使えない。 (2) A, B, C, D, Eの5つの文字を辞書式に並べたとき、63番目の文字列は何か。

1. 問題の内容

(1) HGAKUENの7文字から6文字を選び、辞書式に並べたとき、GAKUENは何番目になるか。ただし、同じ文字は繰り返し使えない。

(2) A, B, C, D, Eの5つの文字を辞書式に並べたとき、63番目の文字列は何か。

2. 解き方の手順

(1)

まず、辞書式順序でGAKUENより前に来る文字列を数える。

- 先頭がAのもの: A _ _ _ _ の形。残りの6文字（H, G, K, U, E, N）から5文字を選ぶ順列の数は $P(6,5) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$ 通り

- 先頭がEのもの: E _ _ _ _ の形。残りの6文字から5文字を選ぶ順列の数は $P(6,5) = 720$ 通り

- 先頭がGで2文字目がAのもの: GA _ _ _ _ の形。残りの5文字から4文字を選ぶ順列の数は $P(5,4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 通り

- 先頭がGで2文字目がEのもの: GE _ _ _ _ の形。残りの5文字から4文字を選ぶ順列の数は $P(5,4) = 120$ 通り

- 先頭がGで2文字目がHのもの: GH _ _ _ _ の形。残りの5文字から4文字を選ぶ順列の数は $P(5,4) = 120$ 通り

- 先頭がGで2文字目がKのもの: GK _ _ _ _ の形。残りの5文字から4文字を選ぶ順列の数は $P(5,4) = 120$ 通り

- 先頭がGで2文字目がUで3文字目がAのもの: GUA _ _ _ の形。残りの4文字から3文字を選ぶ順列の数は $P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り

- 先頭がGで2文字目がUで3文字目がEのもの: GUE _ _ _ の形。残りの4文字から3文字を選ぶ順列の数は $P(4,3) = 24$ 通り

- 先頭がGで2文字目がUで3文字目がHのもの: GUH _ _ _ の形。残りの4文字から3文字を選ぶ順列の数は $P(4,3) = 24$ 通り

- 先頭がGで2文字目がUで3文字目がKで4文字目がAのもの: GUKA _ _ の形。残りの3文字から2文字を選ぶ順列の数は $P(3,2) = 3 \times 2 = 6$ 通り

- 先頭がGで2文字目がUで3文字目がKで4文字目がEのもの: GUKE _ _ の形。残りの3文字から2文字を選ぶ順列の数は $P(3,2) = 6$ 通り

- 先頭がGで2文字目がUで3文字目がKで4文字目がHで5文字目がEのもの: GUKHE _ の形。残りの1文字はNなので、GUKHEN。これはGAKUENより前。

- 先頭がGで2文字目がUで3文字目がKで4文字目がEで5文字目がNのもの: GUKEN_なので最後の文字はHなので、これはGAKUENより前。

- したがって、GAKUENの順番は $720 + 720 + 120 \times 4 + 24 \times 3 + 6 \times 2 + 1 = 720 + 720 + 480 + 72 + 12 + 1 = 1440 + 480 + 85 = 1920 + 85 = 2005$ 番目。GAKUEN自身を含めると2006番目。

(2)

5つの文字を辞書式順に並べた場合、全ての並べ方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

- A _ _ _ _ の形: $4! = 24$通り

- B _ _ _ _ の形: $4! = 24$通り

合計 48通り。 63 - 48 = 15。

- C _ _ _ _ の形: $4! = 24$通りなので、Cから始まる順列の15番目を求める。

- CA _ _ _ の形: $3! = 6$通り

- CB _ _ _ の形: $3! = 6$通り

合計 12通り。15 - 12 = 3。

- CD _ _ _ の形: $3! = 6$通りなので、CDから始まる順列の3番目を求める。

- CDA _ _ の形: $2! = 2$通り

- CDB _ _ の形: $2! = 2$通りなので、2番目の順列はCDBEA。

したがって、3番目の順列はCD BEC A。順番はCDBAE。

3. 最終的な答え

(1) 2006番目

(2) CDBAE