放物線 $y = x^2 + 3x - 4$ を平行移動したもので、点 $(2, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 3x - 4$ を平行移動したもので、点 $(2, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 + 3x - 4$ を平方完成します。

$y = x^2 + 3x - 4 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 4 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$

したがって、与えられた放物線の頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$ です。平行移動しても $x^2$ の係数は変わらないので、求める放物線の方程式は $y = x^2 + bx + c$ とおけます。

あるいは、頂点の座標を $(p, q)$ とすると、$y = (x - p)^2 + q$ と表せます。

頂点は $y = x + 1$ 上にあるので、$q = p + 1$ となります。

したがって、$y = (x - p)^2 + p + 1$ と表せます。

この放物線は点 $(2, 3)$ を通るので、

$3 = (2 - p)^2 + p + 1$

$3 = 4 - 4p + p^2 + p + 1$

$p^2 - 3p + 2 = 0$

$(p - 1)(p - 2) = 0$

$p = 1, 2$

$p = 1$ のとき、$q = 1 + 1 = 2$ なので、$y = (x - 1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 1 + 2 = x^2 - 2x + 3$

$p = 2$ のとき、$q = 2 + 1 = 3$ なので、$y = (x - 2)^2 + 3 = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7$

3. 最終的な答え

求める放物線の方程式は、

$y = x^2 - 2x + 3$

または

$y = x^2 - 4x + 7$

です。