2次不等式 $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a < 0$ を解け。ただし、$a$ は定数とする。

## 267 (1) の問題

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a < 0$ を解け。ただし、$a$ は定数とする。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a$ を因数分解することを試みます。

$x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = (x-a)(x-(a+1))$ と因数分解できます。

したがって、与えられた不等式は $(x-a)(x-(a+1)) < 0$ と書き換えられます。

$x-a=0$ となる $x$ は $x=a$ であり、$x-(a+1)=0$ となる $x$ は $x=a+1$ です。

ここで、$a$ と $a+1$ の大小関係を考えます。明らかに $a < a+1$ です。

したがって、不等式 $(x-a)(x-(a+1)) < 0$ の解は $a < x < a+1$ となります。

3. 最終的な答え

$a < x < a+1$

## 267 (2) の問題

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - (a+2)x + 2a > 0$ を解け。ただし、$a$ は定数とする。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $x^2 - (a+2)x + 2a$ を因数分解することを試みます。

$x^2 - (a+2)x + 2a = (x-a)(x-2)$ と因数分解できます。

したがって、与えられた不等式は $(x-a)(x-2) > 0$ と書き換えられます。

$x-a=0$ となる $x$ は $x=a$ であり、$x-2=0$ となる $x$ は $x=2$ です。

ここで、$a$ と $2$ の大小関係によって場合分けを行います。

(i) $a < 2$ のとき、$(x-a)(x-2) > 0$ の解は $x < a$ または $x > 2$ です。

(ii) $a = 2$ のとき、$(x-2)(x-2) > 0$ すなわち $(x-2)^2 > 0$ の解は、$x \neq 2$ となるすべての実数です。

(iii) $a > 2$ のとき、$(x-a)(x-2) > 0$ の解は $x < 2$ または $x > a$ です。

3. 最終的な答え

$a < 2$ のとき：$x < a$ または $x > 2$

$a = 2$ のとき：$x \neq 2$ となるすべての実数

$a > 2$ のとき：$x < 2$ または $x > a$