$\sqrt{8-\sqrt{60}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{8-\sqrt{60}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{60}$ を簡単にします。

$60 = 4 \times 15$ なので、 $\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$ となります。

したがって、$\sqrt{8-\sqrt{60}} = \sqrt{8-2\sqrt{15}}$ です。

次に、二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a-2\sqrt{b}} = \sqrt{x}-\sqrt{y}$ となるような $x, y$ を探します。このとき、

$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x+y-2\sqrt{xy}$ です。

したがって、$x+y=8$ かつ $xy=15$ となる $x, y$ を見つければよいことになります。

$x, y$ は $t^2 - 8t + 15 = 0$ の解になります。

$(t-3)(t-5) = 0$ より、$t=3, 5$ です。

$x>y$ と仮定すると、$x=5, y=3$ となります。

したがって、

$\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} - \sqrt{3}$