2次関数 $y = x^2 - 4ax + 3a + 1$ のグラフの頂点が第3象限にあるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4ax + 3a + 1$ のグラフの頂点が第3象限にあるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 4ax + 3a + 1$

$y = (x^2 - 4ax + 4a^2) - 4a^2 + 3a + 1$

$y = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 3a + 1$

したがって、頂点の座標は $(2a, -4a^2 + 3a + 1)$ である。

頂点が第3象限にあるということは、頂点の $x$ 座標と $y$ 座標がともに負であるということである。したがって、以下の2つの不等式が成り立つ。

$2a < 0$

$-4a^2 + 3a + 1 < 0$

1つ目の不等式より、

$a < 0$

2つ目の不等式について、

$-4a^2 + 3a + 1 < 0$

$4a^2 - 3a - 1 > 0$

$(4a + 1)(a - 1) > 0$

この不等式を解くと、

$a < -\frac{1}{4}$ または $a > 1$

$a < 0$ かつ ($a < -\frac{1}{4}$ または $a > 1$) を満たす $a$ の範囲は、

$a < -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a < -\frac{1}{4}$