方程式 $|x| + 2|x-2| = x + 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $|x| + 2|x-2| = x + 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号が含まれるため、場合分けをして考えます。

(i) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ なので、方程式は

$-x + 2(2-x) = x + 2$

$-x + 4 - 2x = x + 2$

$-3x + 4 = x + 2$

$-4x = -2$

$x = \frac{1}{2}$

しかし、これは $x < 0$ という条件を満たさないので、この場合は解なしです。

(ii) $0 \le x < 2$ のとき

$|x| = x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ なので、方程式は

$x + 2(2-x) = x + 2$

$x + 4 - 2x = x + 2$

$-x + 4 = x + 2$

$-2x = -2$

$x = 1$

これは $0 \le x < 2$ という条件を満たすので、$x = 1$ は解の一つです。

(iii) $x \ge 2$ のとき

$|x| = x$ かつ $|x-2| = x-2$ なので、方程式は

$x + 2(x-2) = x + 2$

$x + 2x - 4 = x + 2$

$3x - 4 = x + 2$

$2x = 6$

$x = 3$

これは $x \ge 2$ という条件を満たすので、$x = 3$ は解の一つです。

3. 最終的な答え

$x = 1, 3$