2次方程式 $mx^2 - 4mx + 2m + 4 = 0$ が重解を持つように、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $mx^2 - 4mx + 2m + 4 = 0$ が重解を持つように、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。ただし、$m=0$ の場合は1次方程式となり、重解を持ち得ないので、$m \neq 0$であることを確認する必要があります。

まず、$m=0$の場合を考えると、与えられた方程式は$4=0$となり成り立ちません。よって、$m \neq 0$です。

次に、与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-4m)^2 - 4(m)(2m+4)$

$D = 16m^2 - 8m^2 - 16m$

$D = 8m^2 - 16m$

重解を持つためには、$D = 0$ である必要があります。

$8m^2 - 16m = 0$

$8m(m - 2) = 0$

よって、$m = 0$ または $m = 2$。

しかし、先ほど$m \neq 0$であることから、$m = 2$ が求める解となります。

$m = 2$ のとき、与えられた2次方程式は次のようになります。

$2x^2 - 8x + 4 + 4 = 0$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

したがって、$m=2$ のとき、重解は $x = 2$ です。

3. 最終的な答え

$m = 2$ のとき、重解は $x = 2$