関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分する。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。商の微分公式は、 $y = \frac{u}{v}$ のとき、

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

である。

この問題では、$u = x-1$、$v = x^3+1$ とおく。

すると、$u' = 1$、$v' = 3x^2$ となる。

したがって、

$y' = \frac{1\cdot(x^3+1) - (x-1)\cdot3x^2}{(x^3+1)^2} = \frac{x^3+1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3+1)^2} = \frac{-2x^3+3x^2+1}{(x^3+1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x^3+3x^2+1}{(x^3+1)^2}$