関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、商の微分公式を使用します。商の微分公式は次の通りです。

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\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

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ここで、$u = 2x^2 - x$、$v = x^3 + 1$ とします。

まず、$u$ と $v$ の微分を求めます。

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u' = \frac{d}{dx}(2x^2 - x) = 4x - 1

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v' = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2

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次に、商の微分公式にこれらの値を代入します。

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y' = \frac{(4x - 1)(x^3 + 1) - (2x^2 - x)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}

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分子を展開して整理します。

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\begin{aligned}

y' &= \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - (6x^4 - 3x^3)}{(x^3 + 1)^2} \\

&= \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - 6x^4 + 3x^3}{(x^3 + 1)^2} \\

&= \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3 + 1)^2}

\end{aligned}

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3. 最終的な答え

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y' = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3 + 1)^2}

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