$y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$をべき乗の形で書き換えます。

$y = (1 + \sin x)^{\frac{1}{2}}$

次に、合成関数の微分を行います。

$u = 1 + \sin x$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{2}}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + \sin x) = \cos x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$