関数 $y = \frac{1}{(3x+2)^3}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(3x+2)^3}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $(3x+2)$ のべき乗の形に変形します。

$$y = (3x+2)^{-3}$$

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を用いて微分します。チェーンルールとは、$y = f(g(x))$ のとき $\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ というものです。

今回の関数を微分するために、$u = 3x + 2$ とおくと、$y = u^{-3}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4}$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -3u^{-4} \cdot 3 = -9u^{-4}$$

$u$ を $3x + 2$ に戻すと、

$$\frac{dy}{dx} = -9(3x+2)^{-4} = \frac{-9}{(3x+2)^4}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-9}{(3x+2)^4}$$