次の2次式を平方完成せよ。 (1) $2x^2 - 8x - 3$ (2) $3x^2 + 9x + 4$ (3) $-2x^2 + 4x + 3$ (4) $-2x^2 - 6x + 1$

1. 問題の内容

次の2次式を平方完成せよ。

(1) $2x^2 - 8x - 3$

(2) $3x^2 + 9x + 4$

(3) $-2x^2 + 4x + 3$

(4) $-2x^2 - 6x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 8x - 3$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$2(x^2 - 4x) - 3$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ なので、

$2((x - 2)^2 - 4) - 3$

括弧を外して整理すると、

$2(x - 2)^2 - 8 - 3 = 2(x - 2)^2 - 11$

(2) $3x^2 + 9x + 4$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$3(x^2 + 3x) + 4$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ なので、

$3((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 4$

括弧を外して整理すると、

$3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + 4 = 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + \frac{16}{4} = 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$

(3) $-2x^2 + 4x + 3$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$-2(x^2 - 2x) + 3$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ なので、

$-2((x - 1)^2 - 1) + 3$

括弧を外して整理すると、

$-2(x - 1)^2 + 2 + 3 = -2(x - 1)^2 + 5$

(4) $-2x^2 - 6x + 1$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$-2(x^2 + 3x) + 1$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ なので、

$-2((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 1$

括弧を外して整理すると、

$-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 1 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + \frac{2}{2} = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2(x - 2)^2 - 11$

(2) $3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$

(3) $-2(x - 1)^2 + 5$

(4) $-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$